Погрешность приближения правила действий с приближенными числами

zakondostatka.ru

Приближенное число может быть целым или записываться в виде десятичной дроби. Установим такой способ записи приближенного числа х, при котором по его записи можно узнавать погрешность.

Определение 1.6. Значащими цифрами числа называются все цифры его десятичной записи, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля.

Именно, при правильной записи абсолютная погрешность не превышает половины единицы низшего разряда.

Например, если даны приближенные

Науколандия

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях. Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения.

Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление. Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения.

Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552.

Правила вычислений с приближенными числами

При проведении вычислительных операций над приближенными числами пользуются правилами приближенных вычислений.

1. Правило сложения (вычитания).

При сложении или вычитании приближенных чисел в результате (в сумме или разности) необходимо оставлять столько десятичных знаков, сколько их дано в компоненте с наименьшим числом этих знаков.

Например: 233,78 + 52,308 + 3,9313 » 233,78 + 52,31 + 3,93 = 290,02; 2529,37 – 2,1462 » 2529,37 – 2,15 = 2527,22. Примечание.

Для того, чтобы при сложении (вычитании) приближенных чисел получить сумму (разность)с n верными десятичными знаками, нужно каждое исходное слагаемое округлить до (n+1) — го десятичного знака.

В случае вычитания близких чисел может быть потеря точности, поэтому следует избегать действия вычитания близких чисел. 2. Правило умножения (деления).

При умножении (делении) приближенных чисел с разным числом значащих цифр в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет менее точное из данных чисел (менее точным считается то число, которое имеет меньше значащих цифр). Например: 2,143 · 0,45 = 0,96435 » 0,96; 2,667 : 3,143 = 0,848552.

Приближение числа. Погрешности приближённых значений чисел

Пусть X — точное значение некоторой величины, x — наилучшее приближение этой величины.

Определение: Абсолютной погрешностью ех приближенного значения числа Х называется модуль разности между точным числом Х его приближенным значением х, т.е.

ех = ½Х — х ½. Определение: Число х называется приближённым значением точного числа Х с точностью до Dх, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает Dх, т.е. ½Х — х ½£ Dх . (1) Определение: Число Dх называется границей абсолютной погрешности приближённого значения числа х.

НГх= х — Dх — нижняя граница приближения величины Х. ВГх= х +Dх — верхняя граница приближения величины Х. Определение:Относительной погрешностью

Вопрос 1.

Абсолютная и относительные погрешности.

Основные источники погрешностей. Действия с приближенными числами.

1 Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях.

Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.

Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, важно понимать, что получить точное значение решения практически невозможно.

Получаемое на ЭВМ решение почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаев) содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограниченной разрядности вычислительной машины.

Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин.

2. Приближенные вычисления

предела приведенной погрешности γпр = ± k Числа a, b, p, c, d, k выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6•10n, где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

А – показания прибора; Аmax – верхний предел используемого диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность

,где Ан – нормирующее значение, условно принятое для данного прибора, зависящее от формы шкалы.

Определение Ан для наиболее часто встречающихся шкал приведены ниже: а) односторонняя шкала б) шкала с нулем внутри Ан = Аmax Aн = |A1| + A2в) шкала без нуля г) существенно неравномерная шкала (для омметров, фазометров) Ан = А2 – А1 Ан = LПравила и примеры обозначения классов точности приведены в таблице 3.1. Таблица 3.1 Формула для предельной основной погрешности Обозначение класса точности на приборе общий вид пример Δ = ± аΔ = ± (а + b • A) ± а, ед.

величины А± (а + b • A), ед.

Приближенные числа и действия над ними.

Оценка точности вычисления.

Величиной называется то, что может быть в определенных единицах выражено числом.

Например, длина, площадь, объем – это величины. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называется точным (в дальнейшем х — точное число).

Но обычно на практике, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение (в дальнейшем а — приближенное число). Например, при измерении физических величин с помощью измерительных приборов. Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения

Предельной абсолютной погрешностью приближения или границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности называется число

.

Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей оценкой погрешности является наименьшая оценка.

Действия с приблизхенными числами со строгим учетом погрешностей

Тема.

Действия с приближенными числами со строгим учетом погрешностей. Цели урока: Образовательная: закрепить умения и навыки выполнения арифметических действий без строгого учета погрешностей; сформировать умения выполнения арифметических операций с приближенными числами со строгим учетом погрешностей.

Развивающая: Развитие умения анализировать, сопоставлять, памяти, мышления, сообразительности, математической речи.

Сформулируйте правило округления чисел. Сформулируйте правила выполнения арифметических действий без строгого учета погрешностей. Мотивация учебной деятельности.

Погрешность и точность приближения

Меню

Вход / / / / На этом уроке мы познакомим с понятиями абсолютной погрешности и относительной погрешности. Научимся их вычислять. При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.

Но это было бы не совсем точное измерение.

Такую неточность называют погрешностью измерения.

Погрешность приближения правила действий с приближенными числами

Например: 2,143 · 0,45 = 0,96435 » 0,96; 2,667 : 3,143 = 0,848552. » 0,8486; 654,8 : 2,6 = 251,8 » 2,5 · 102. Примечание. Для того, чтобы результат последовательных действий умножения (деления) получить с n верными цифрами необходимо числа, с которыми производятся действия, взять с (n+1) или (n+2) верными цифрами.

3. Правило возведения в степень.При возведении приближенных чисел в степень в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

Например: 1,232 = 1,5129 ≈ 1,51; 1,273 ≈ 2,05.

4. Правило извлечения корня.При извлечении корня n-ой степени из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число. Например:

.

Примечания.

Тема 1. Оценка погрешности вычислений

Обычно различают абсолютную и относительную формы ошибок.

Погрешность чисел Значащая цифра приближённого числа в десятичной записи – это любая его цифра, в том числе и нуль, если он стоит между отличными от нуля цифрами или после них как представитель сохраняемых разрядов числа. Если известно, что c = 3200 (т.е.

точное число), то для него нельзя использовать запись c=3.2 103, ибо тем самым два нуля переводятся в разряд незначащих цифр. Пусть X – точное значение величины, а X* – её приближённое значение. Относительной погрешностью называется некоторая величина dX*, удовлетворяющая условию

.

Действия над приближенными числами

После округления получаем 602.2 .

Полная погрешность результата складывается из трех слагаемых: — суммы предельных погрешностей исходных данных: 1=10-3+10-4+10-1+10-1+10-2 +10-2+10-4+10-4+10-6 = 0.221301 < 0.222> .- абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых: 2 =-0.002+0.0034+0.0049+0.0014+0.000354= 0.008054  0.009 — заключительной погрешности округления результатов: 3 = 0.050 .

Следовательно,  = 1 + 2 + 3  0.222+0.009+0.050 = 0.281 < 0.3 и, таким образом, искомая сумма равна 602.2  0.

3> Погрешность разности: предельная абсолютная погрешность разности (u = x1 — x2) равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: u = x1 + x2 Отсюда предельная относительная погрешность разности где А — точное значение абсолютной величины разности чисел х1и х2 .

Приближение числа.

Погрешности приближённых значений чисел

Если первая значащая цифра в относительной погрешности меньше 5, то граница относительной погрешности определяется из неравенства

, где n- количество верных цифр. Погрешности арифметических действий х; у ∆(х; у) δ (х; у) х+у

x+ y х-у x+ y ху х/у Погрешности значений функций f(x) а*х sin x cos x tg x ln x lg x arcsin x arccos x arctg x Вычисление погрешностей со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей.

Действия над приближенными значения чисел

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле Умножение, деление,возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем погрешности произведения (частного).

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице. Функция Граница абсолютной погрешности Граница относительной погрешности Номер формулы 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 Примеры.

1. Даны приближенные значения числа

;

;

;

.

Десятичная запись приближенных чисел.

Действия над приближенными числами

Замечание 1.4. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными. Иногда при вычислениях целесообразно кроме верных значащих цифр сохранять еще одну сомнительную.

Замечание 1.5. Если приближенное число записано с некоторым числом десятичных знаков после запятой, причем последние десятичные знаки есть нули, являющиеся верными цифрами, то их не следует отбрасывать, т.е. их следует писать. Например, если ha а = 8,6 следует писать а — 8,600. Очень часто число, точное или приближенное, содержит в своей записи цифр больше, чем это необходимо.

В таких случаях производят округление. Правило округления. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от п-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. Очевидно,

Приближенные значения и погрешности приближений

какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х. При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения.

Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью.