Примеры на распределительный закон на отрицательные числа
Примеры на распределительный закон, на отрицательные числа
Запишем в нашем выражении число ?8 вместо произведения ( 4 ? (?2) )
Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие
Теперь внимательно смотрим на выражение ?8 + […] = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь ?8 + 8 равно 0.
Возвращаемся к выражению ?8 + ((?4) ? (?2)) = 0 и вместо произведения ((?4) ? (?2)) записываем число 8
Пример 5. Найти значение выражения ?2 ? (6 + 4)
Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число ?2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)
Теперь вычислим выражения, находящиеся в скобках. Затем полученные результаты сложим. Попутно применим ранее изученные правила.
1. Внимание Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4.
Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям.
Он живет в своем дворце, который расположен между этими двумя
графствами и следит, чтобы законы его подданными строго выполнялись.
Ребята, вы узнали, кто живет в этой стране? А кто является королем?
И вот сейчас мы еще раз встретимся со старыми знакомыми и повторим
основные правила умножения и деления положительных и отрицательных
чисел, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих
Маршрутные листы у вас на столах, в них отмечены все этапы путешествия,
напротив каждого этапа путешествия вы в случае правильного ответа ставите
себе по 1 баллу. Итак, в путь!
Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и «Классная работа».
3.
На отрицательные числа
умение применять правила в процессе выполнения упражнений;
? формировать навыки самостоятельной работы; развивать логическое
мышление, вычислительные навыки; расширять кругозор;
? воспитывать познавательный интерес к предмету; настойчивость в
достижении цели; культуру труда, математической речи; активность;
Тип урока: урок повторения и обобщения.
Формы работы на уроке: индивидуальная, групповая, коллективная, устная,
письменная, работа в парах, проектная.
Оборудование: презентация, карточки различной степени сложности,
математическое лото, тесты, знаки “+” и “” для рефлексии.
1.Сообщение темы и постановка целей урока (2 мин).
2.Актуализация знаний учащихся (8 мин).
3.Закрепление знаний (2530 мин).
4.Подведение итогов урока (4 мин).
5. Домашнее задание (1 мин)
1.
Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Теперь формула a m : a n = a m n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a4 : a7 = a 4 7 = a 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы .
На отрицательные числа 6 класс
Важно
Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.
Рассмотрим следующее выражение:
(3 + 5) × 2
Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:
(3 + 5) = 8
В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:
8 × 2 = 16
Получили ответ 16.
Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения.
В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.
Обычно записывают короче 12 : (?2) = ?6
Пример 2. Найти значение выражения ?24 : 6
Это деление чисел с разными знаками. ?24 – это отрицательное число, 6 – положительное. В таких случаях опять же нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.
Обычно записывают короче ?24 : 6 = ?4
Пример 3. Найти значение выражения (?45) : (?5)
Это деление отрицательных чисел.
[1] ( a + b )²= a²+ 2ab + b², [2] ( a – b )²= a² – 2ab + b², [3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b², [4] ( a + b )³= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³, [5] ( a – b )³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³, [6] ( a + b )( a² – ab + b²) = a³+ b³, [7] ( a – b )( a²+ab + b²) = a³ – b³.Степени и корни
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,
нулевым и дробным показателем.
Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.
Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.
От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.
Результат действия называется разностью.
Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.
Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа.
Или можно посчитать зелёные звёздочки отдельно, а синие и жёлтые вместе и после к зелёным звёздочкам прибавить сумму синих с жёлтыми, в результате получим опять 10 звёздочек.Из примера следует, что результат сложения не зависит от объединения слагаемых в сумму. Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
выражающее сочетательный закон сложения:
Сумма трёх и более слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой.
naobumium.info
Закон умножения отрицательных чисел
1. Переместительный закон.
Для любых рациональных чисел а и справедливо равенство:
Это следует из определения умножения рациональных чисел.
Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение
Значит значение выражения ?2 ? (6 + 4) равно ?20
Обычно записывают короче: ?2 ? (6 + 4) = (?12) + (?8) = ?20
Пример 6. Найти значение выражения (?2) ? (?3) ? (?4)
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа ?2 и ?3, и полученное произведение умножим на оставшееся число ?4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение
Значит значение выражения (?2) ? (?3) ? (?4) равно ?24
Обычно записывают короче: (?2) ? (?3) ? (?4) = 6 ? (?4) = ?24
Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.
В первую очередь, вспомним из чего состоит деление.
Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного.
В самом деле, в выражении мы должны абсолютную величину а умножить на произведение абсолютных величин и с, в выражении мы должны произведение абсолютных величин умножить на абсолютную величину с. Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.
Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел а, b, и с (оба произведения положительны, если среди чисел а, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если
одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел или с равно нулю).
Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители:
3.
Распределительное свойство умножения — правила и примеры применения
Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи.
Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю.
Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.
Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения.
Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов.
Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.
Ключевые особенности
Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат.
К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d).
В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.
Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:
- Классическая задача: 35 * 6. Следует представить число 35 как сумму двух чисел 30 и 5, которую просто нужно перемножить на 6: (30 + 5) * 6. Все вычисления выполняются элементарно: 30 * 6 + 5 * 6 = 210.
- Еще один пример: 4 * (20 + 13). Для решения нужно умножить число 4 на каждое задействованное слагаемое: 4 * 20 + 4 * 13. Сложение примет следующий вид: 80 + 52 = 132.
- Также следует рассмотреть более сложный пример: 8 * (45 — 3). Необходимо перемножить на число 9 уменьшаемое 45, а также вычитаемое 3. Пример: 8 * 45 — 8 * 3. Если все сделать верно, то итоговый результат примет следующий вид: 360 — 24 = 336.
Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.
Основные математические возможности
Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения.
А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения.
Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.
Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:
- Элементарное сочетательное. Именно это свойство применяется для тех примеров, где используется минимум 3 множителя. Основная мысль сочетательного свойства в том, что можно легко перемножить первые два множителя, а только потом умножить результат на третий множитель. Стоит учесть, что порядок перемножения может быть абсолютно любым.
- Переместительное. Произведение не меняется от перемены мест множителя. Для примера из двух множителей это свойство не является критичным, но для заданий с тремя и более множителями это направление может сэкономить много свободного времени.
- Распределительное. В математике это свойство получило большой спрос для умножения числа на сумму либо разность. Распределительный подход сокращает время решения задачи при правильном подходе. Суть свойства в том, что во время умножения числа на разность либо конкретную сумму можно каждое слагаемое умножить на основное число, а уже потом выполнить сложение.
Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.
Правила вычитания
Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством.
Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа.
Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.
Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий.
Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25.
Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.
Использование двух и более слагаемых
Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:
- d x (e + t + h) = d x e + d x t + d x h .
- d x (e — t — h) = dxe — dxt — dxh.
В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8.
Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + 8) * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712.
Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.
Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у.Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть.
Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.
Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету.
Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения.
Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.
Умножение нуля
Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком.
Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0.
Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.
Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число.
Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю.
Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.
Распределительное свойство относительно разности
Правильное решение математических уравнений возможно только в том случае, если ученик предварительно хорошо изучил теоретическую часть этой темы.
Чтобы выполнить элементарное умножение разности на число, необходимо предварительно умножить на него уменьшаемое, а только после этого — вычитаемое, и выполнить вычисление полученных результатов.
Пример: g x (y — u) = g x y — g x u или (y — u) x g = g x y — g x u .
Понять все нюансы помогут следующие три примера:
- Для решения уравнения 78 * (12 — 5) принято использовать распределительный закон. Первым делом умножают 78 на оба числа: 78 * 12 — 78 * 5. Необходимо отыскать разность полученных значений: 936 — 390 = 546 и записать полученный результат. Ответ: 546.
- Следующий пример: 78 * 5. Нужно найти значение математического выражения, используя для этого ранее изученные свойства. Следует представить 78 как разность двух чисел 83 и 5. Решение будет выглядеть следующим образом: 78 * 5 = (83 − 5) * 5 = 83 * 5 − 5 * 5 = 390.
- Еще один арифметический пример: 9 * (2 + 30). Решение этого уравнения довольно простое: 9 * 2 + 9 * 30 = 18 + 270 = 288.
Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.
Манипуляции с натуральным числом
Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.
Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.
Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.
Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор.
Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях.
Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.
zakondostatka.ru
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется. Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство: a · b = b · a выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры: 6 · 7 = 7 · 6 = 42 4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24 Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c) выражающее сочетательное свойство умножения. Пример: 3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30 или 3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30 Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении.
Например: 25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500 В данном случае можно было вычислить всё последовательно: 25 · 15
Умножение и деление рациональных чисел
В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел. Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел.
Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь Также, необходимо знать основные законы умножения, такие как: переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и умножение на ноль. Пример 1. Найти значение выражения
Это умножение рациональных чисел с разными знаками.
Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус. Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами, у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками Модуль числа
Действия с отрицательными и положительными числами
74.19 Kb.НазваниеДата публикации24.01.2015Размер74.19 Kb.Тип > > Абсолютная величина (модуль). Сложение.Вычитание. Умножение.
Деление.Абсолютная величина (модуль).
Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число.
Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число. П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0. Сложение: 1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.П р и м е р ы
Законы математики
В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.
У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.
В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.
Переместительный закон сложения
Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:
5 + 2 = 7
2 + 5 = 7
Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс.
Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится.
Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.
Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:
5 + 2 = 2 + 5
7 = 7
Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:
a + b = b + a
Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:
2 + 3 + 5
Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
10 = 10
Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Переместительный закон умножения
Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.
5 × 2 = 10
2 × 5 = 10
В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 × 2 = 2 × 5
10 = 10
Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:
a × b = b × a
Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:
x × y = y × x
Сочетательный закон умножения
Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
Рассмотрим следующее выражение:
2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:
Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2
Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:
a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)
Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45 Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70 Задание 3.
Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) Задание 4.
Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) 4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81 Задание 5.
Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) 16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Примеры на распределительный закон на отрицательные числа
Действительно, так как модуль любого числа является положительным, то произведение модулей также является положительным числом. В заключение этого пункта отметим, что рассмотренное правило можно использовать для умножения действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел.
Весь процесс умножения исходных отрицательных чисел кратко записывается так: (−3)·(−5)= 3·5=15 . Умножение отрицательных рациональных чисел с помощью разобранного правила можно свести к умножению обыкновенных дробей, умножению смешанных чисел или умножению десятичных дробей.
Умножение и деление целых чисел
В нашем примере множитель это число 2.
Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3: Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6. Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом: От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители. 3 × 5 = 15 Теперь поменяем местами сомножители: 5 × 3 = 15 В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:
Законы умножения
Для любых натуральных чисел верны равенства: m · (a + b + .) = m · a + m · b + .
(a + b + .) · m = a · m + b · m + .
выражающие распределительный закон умножения: Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке: Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.
Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных – 5 · 4.
Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4. Кроме того, для любых натуральных
Распределительный закон умножения относительно сложения
И наоборот, вносить множитель в скобки, умножая на каждое слагаемое. Это действительно удобно, и стоит научиться использовать этот закон!Эти законы нельзя использовать для деления и вычитания, так как они могут изменить конечный результат.Он очень удобен, ведь с его помощью можно умножать число на сумму без каких-либо трудностей!
А всё потому, что распределять намного удобнее, чем просто умножать на каждый множитель.Для наглядности можно рассмотреть пример, где он применяется при умножении и сложении.Дано выражение: 3 х 2 + 3 х 5.Так выглядит обычное выражение.
Если мы будем использовать распределительный закон, оно будет выглядеть так: 3 х (2 + 3) = 3 х 5 = 15.Как видим, пользуясь этим удобным «средством», можно намного быстрее решать различные уравнения!Всё на свете имеет своё название и формулировку, распределительный закон — не исключение! Стоит заучить его формулировку, чтобы с лёгкостью пользоваться им в любых условиях и при любых обстоятельствах.
Законы математики
Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку.
И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку: 5 + 2 = 7 2 + 5 = 7 Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится.
Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес. Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства.
Это будет означать, что их сумма равна: 5 + 2 = 2 + 5 7 = 7 Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался , поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных: a + b = b + a Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел.
Умножение отрицательных чисел
Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок. Запомните!
Минус на минус даёт плюс, Плюс на минус даёт минус. + · (+) = + + · (−) = − − · (−) = + − · (+) = − В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным. Пример. (−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = В примере пять отрицательных множителей.
Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.